19.已知函數(shù)f(x)=x2+|x+1-a|,其中a為實常數(shù).
(1)f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在x∈R,使不等式f(x)≤2|x-a|成立,求a的取值范圍.

分析 (1)去掉絕對值,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而得出f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上的單調(diào)性;
(2)求出使不等式f(x)>2|x-a|對任意x∈R時都成立的a的取值范圍,再求使不等式f(x)≤2|x-a|有解的a的取值范圍

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x2+|x+1-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+1-a,x≥a-1\\{x}^{2}-x-1+a,x<a-1\end{array}\right.$,
其中a為實常數(shù);
∴當x≥a-1時,f(x)=x2+x+1-a,它的圖象是拋物線的一部分,對稱軸是x=-$\frac{1}{2}$,
若a≤$\frac{1}{2}$,則a-1≤-$\frac{1}{2}$,
∴在x≥-$\frac{1}{2}$時,f(x)是增函數(shù),
∴f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增;
若$\frac{3}{2}$>a>$\frac{1}{2}$,則$\frac{1}{2}$>a-$\frac{1}{2}$>-$\frac{1}{2}$,
∴f(x)在[a-1,$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù);
當x<a-1時,f(x)=x2-x-1+a,它的圖象是拋物線的一部分,對稱軸是x=$\frac{1}{2}$,
若a≥$\frac{3}{2}$,則a-1≥$\frac{1}{2}$,
∴在x≤$\frac{1}{2}$時,f(x)是減函數(shù),
∴f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減;
若$\frac{3}{2}$>a>$\frac{1}{2}$,則$\frac{1}{2}$>a-1>-$\frac{1}{2}$,
∴f(x)在[-$\frac{1}{2}$,a-1]上是減函數(shù);
綜上,a≤$\frac{1}{2}$時,f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù);$\frac{3}{2}$>a>$\frac{1}{2}$時,f(x)在[a-1,$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù),在[-$\frac{1}{2}$,a-1]上是減函數(shù);a≥$\frac{3}{2}$時,f(x)在[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù);
故a∈(-∞,$\frac{1}{2}$],
(Ⅱ)先求使不等式f(x)>2|x-a|對x∈R恒成立時a的取值范圍;
①當x≤a-1時,不等式化為x2-x-1+a>2(a-x),即x2+x-1>a,
∴(x+$\frac{1}{2}$)2-$\frac{5}{4}$>a;
若a-1≥$\frac{1}{2}$,即a≥$\frac{1}{2}$,則a<-$\frac{5}{4}$相矛盾;
若a-1<-$\frac{1}{2}$,即a<$\frac{1}{2}$,則a<(a-1)2+(a-1)-1,即a2-2a-1>0,
解得a>1+$\sqrt{2}$或a<1-$\sqrt{2}$,
∴a<1-$\sqrt{2}$;
②當a-1<x≤a時,不等式化為x2+x+1-a>2(a-x),
即x2+3x+1>3a,
∴(x+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{5}{4}$>3a;
若a-1<-$\frac{3}{2}$≤a,即-$\frac{3}{2}$≤a<-$\frac{1}{2}$;
若a-1≥-$\frac{3}{2}$,即a≥-$\frac{1}{2}$,
∴3a≤(a-1)2+3(a-1)+1,即a2-2a-1≥0,
解得a≥1+$\sqrt{2}$或a≤1-$\sqrt{2}$;
結(jié)合條件及①得,-$\frac{1}{2}$≤a≤1-$\sqrt{2}$;
若a<-$\frac{3}{2}$,3a<a2+3a+1恒成立;
綜上,a<1-$\sqrt{2}$;
③當x>a時,不等式化為x2+x+1-a>2(x-a),即a2-x+1>-a;
(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$>-a,得-a<$\frac{3}{4}$,即a>-$\frac{3}{4}$,
結(jié)合②得-$\frac{3}{4}$<a<1-$\sqrt{2}$;
∴使不等式f(x)>2|x-a|對任意x∈R恒成立的a的取值范圍是-$\frac{3}{4}$<a<1-$\sqrt{2}$,
∴本題所求的a的取值范圍是a≥1-$\sqrt{2}$或a≤-$\frac{3}{4}$

點評 本題考查了含有絕對值的函數(shù)與不等式的應用問題,解題時應利用轉(zhuǎn)化思想,再討論函數(shù)的性質(zhì)與解不等式,是較難的題目

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