Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+|x+1-a|，其中a為實常數(shù)．
（1）f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x-a|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對值，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得出f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的單調(diào)性；
（2）求出使不等式f（x）＞2|x-a|對任意x∈R時都成立的a的取值范圍，再求使不等式f（x）≤2|x-a|有解的a的取值范圍

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+|x+1-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+1-a，x≥a-1\\{x}^{2}-x-1+a，x＜a-1\end{array}\right.$，
其中a為實常數(shù)；
∴當x≥a-1時，f（x）=x²+x+1-a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x=-$\frac{1}{2}$，
若a≤$\frac{1}{2}$，則a-1≤-$\frac{1}{2}$，
∴在x≥-$\frac{1}{2}$時，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
若$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2}$＞a-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[a-1，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；
當x＜a-1時，f（x）=x²-x-1+a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x=$\frac{1}{2}$，
若a≥$\frac{3}{2}$，則a-1≥$\frac{1}{2}$，
∴在x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）是減函數(shù)，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減；
若$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2}$＞a-1＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，a-1]上是減函數(shù)；
綜上，a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在[a-1，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，在[-$\frac{1}{2}$，a-1]上是減函數(shù)；a≥$\frac{3}{2}$時，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)；
故a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
（Ⅱ）先求使不等式f（x）＞2|x-a|對x∈R恒成立時a的取值范圍；
①當x≤a-1時，不等式化為x²-x-1+a＞2（a-x），即x²+x-1＞a，
∴（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$＞a；
若a-1≥$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{1}{2}$，則a＜-$\frac{5}{4}$相矛盾；
若a-1＜-$\frac{1}{2}$，即a＜$\frac{1}{2}$，則a＜（a-1）²+（a-1）-1，即a²-2a-1＞0，
解得a＞1+$\sqrt{2}$或a＜1-$\sqrt{2}$，
∴a＜1-$\sqrt{2}$；
②當a-1＜x≤a時，不等式化為x²+x+1-a＞2（a-x），
即x²+3x+1＞3a，
∴（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$＞3a；
若a-1＜-$\frac{3}{2}$≤a，即-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$；
若a-1≥-$\frac{3}{2}$，即a≥-$\frac{1}{2}$，
∴3a≤（a-1）²+3（a-1）+1，即a²-2a-1≥0，
解得a≥1+$\sqrt{2}$或a≤1-$\sqrt{2}$；
結(jié)合條件及①得，-$\frac{1}{2}$≤a≤1-$\sqrt{2}$；
若a＜-$\frac{3}{2}$，3a＜a²+3a+1恒成立；
綜上，a＜1-$\sqrt{2}$；
③當x＞a時，不等式化為x²+x+1-a＞2（x-a），即a²-x+1＞-a；
（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞-a，得-a＜$\frac{3}{4}$，即a＞-$\frac{3}{4}$，
結(jié)合②得-$\frac{3}{4}$＜a＜1-$\sqrt{2}$；
∴使不等式f（x）＞2|x-a|對任意x∈R恒成立的a的取值范圍是-$\frac{3}{4}$＜a＜1-$\sqrt{2}$，
∴本題所求的a的取值范圍是a≥1-$\sqrt{2}$或a≤-$\frac{3}{4}$

點評 本題考查了含有絕對值的函數(shù)與不等式的應用問題，解題時應利用轉(zhuǎn)化思想，再討論函數(shù)的性質(zhì)與解不等式，是較難的題目