Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+c•2ⁿ（c是常數(shù)，n=1，2，3…），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由遞推式表示出a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列可得關(guān)于c的方程，解出即得c值，注意檢驗(yàn)；
（Ⅱ）利用累加法可求得a_n，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)是否滿足a_n；

解答 解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+2c，a₃=2+6c，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴（2+2c）²=2（2+6c），
解得c=0或c=1．
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，故c=1．
（ 2）∵a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a₂=a₁+2¹，
a₃=a₂+2²，
a₄=a₃+2³，
…，
a_n=a_n-1+2^n-1，
累加可得a_n=a₁+2+2¹+2²+…+2^n-1=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足，
故{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ，（n∈N*）

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、用遞推式、累加法求通項(xiàng)公式等知識，屬中檔題．