Question

【題目】某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)電子產(chǎn)品的利潤(rùn)為x(單位：元，x＞0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過25，則q(x)＝ ；若x大于或等于225，則銷售量為零；當(dāng)25≤x≤225時(shí)，q(x)＝a-b(a，b為實(shí)常數(shù))．

(1) 求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；

(2) 當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)x等于100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值2000 000元.

【解析】

（1）由分段函數(shù)分界點(diǎn)處函數(shù)值相等列方程組，可得到，從而可得函數(shù)的表達(dá)式；（2）結(jié)合（1））根據(jù)總利潤(rùn)為每臺(tái)的利潤(rùn)乘以銷售量，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求得分段函數(shù)每段的最大值，最后選擇一個(gè)最大的為分段函數(shù)的最大值可得結(jié)果.

(1) 當(dāng)25≤x≤225時(shí)，由 得

故q(x)＝

(2) 設(shè)總利潤(rùn)f(x)＝x·q(x)，

由(1)得f(x)＝

當(dāng)0＜x≤25時(shí)，f(x)＝＝240 000[－]，f(x)在(0，25]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x＝25時(shí)，f(x)有最大值1000 000. 當(dāng)25＜x≤225時(shí)，f(x)＝60 000x－4000x，f (x)＝60 000－6000，

令f (x)＝0，得x＝100.

當(dāng)25<x<100時(shí)，f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)100<x≤225時(shí)，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)有最大值2000 000.

當(dāng)x>225時(shí)，f(x)＝0.

答：當(dāng)x等于100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值2000 000元．