Question

【題目】己知函數(shù).

（1)若f（x）有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍：

(2)若函數(shù)有且只有三個不同的零點，分別記為x1，x2，x3，設(shè)x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (0，)；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）有兩個極值點，說明導(dǎo)函數(shù)有兩個解，即有兩個不等的實數(shù)根，令，則，求得的極大值，可求得m的取值范圍．

（2）根據(jù)g(x) =(x-e)(lnx-mx)，得到x=e是其零點．又結(jié)合（1）知lnx-mx=0的兩個根分別在(0，e)，(e，+∞)上，得到g(x)的三個不同的零點分別是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e，進(jìn)行的換元，則t∈．由，解得 構(gòu)造，t∈，利用導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）由題意得，x>0．

由題知=0有兩個不等的實數(shù)根，

即有兩個不等的實數(shù)根．令，則．

由>0，解得，故在(0，e)上單調(diào)遞增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上單調(diào)遞減；

故在x=e處取得極大值，且，

結(jié)合圖形可得.

∴當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個極值點時，實數(shù)m的取值范圍是(0，)．

（2）因為g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，

顯然x=e是其零點．

由（1）知lnx-mx=0的兩個根分別在(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三個不同的零點分別是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．

令，則t∈．

則由 解得

故，t∈．

令，則．

令，則．

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即>．所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，即≤=，所以，即x1x3≤.

所以x1x3的最大值為．