Question

2．如圖所示，A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，OC的延長線交橢圓于點(diǎn)M，且MF⊥OA，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求得C和M的坐標(biāo)，運(yùn)用O，C，M共線，即有k_OC=k_OM，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{^{2}}{a}$，
即有M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），
可得C（$\frac{a}{1+2}$，$\frac{2b}{1+2}$），即（$\frac{a}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
由O，C，M共線，可得k_OC=k_OM，
即為$\frac{2b}{a}$=$\frac{^{2}}{ac}$，即有b=2c，
a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$c，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線的有關(guān)知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．