Question

7．如圖，我市體育公園的運(yùn)動(dòng)休閑區(qū)域的平面圖如圖所示，在y軸左側(cè)的運(yùn)動(dòng)區(qū)的邊界曲線(xiàn)段是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈[-4，0]時(shí)的圖象且最高點(diǎn)B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），在y軸右側(cè)的休閑區(qū)的邊界曲線(xiàn)段是以P為圓心，CO為直徑的半圓弧，D、E兩點(diǎn)在半圓弧上，滿(mǎn)足$\widehat{CE}$=$\widehat{DE}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）現(xiàn)要在休閑區(qū)的半圓中進(jìn)行綠化規(guī)劃，在扇形CPD內(nèi)種植草坪，在△DPE和弓形OEFO內(nèi)種植花卉，已知種植花卉的每平方米的成本是種植草坪的每平方米的成本的2倍，設(shè)∠CPD=θ（弧度），則當(dāng)θ為何值時(shí)，休閑區(qū)的種植總成本最低．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．
（2）求出休閑區(qū)的種植總成本，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)樽罡唿c(diǎn)B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），所以A=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
因?yàn)門(mén)=$\frac{2π}{ω}$=12，所以ω=$\frac{π}{6}$．
代入點(diǎn)B（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），可得sin（φ-$\frac{π}{6}$）=1，
又0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$，
所以f（x）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{2π}{3}$）．
（2）由（1）可知點(diǎn)C（0，2），即CO=2，
設(shè)種植草坪的每平方米的成本為1，則種植花卉的每平方米的成本是2，
休閑區(qū)的種植總成本y=$\frac{θ}{2}$+sinθ+π-2θ-sin2θ=-$\frac{3θ}{2}$+sinθ+π-sin2θ，
∴y′=cosθ-$\frac{3}{2}$-2cos2θ=0，
∴θ=60°，
0°＜θ＜60°，y′＜0，60°＜θ＜90°，∴θ=60°，函數(shù)取得最小值，休閑區(qū)的種植總成本最低．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．