Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，記S_n=a₁²+a₂²…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

m

30

，對(duì)任意n∈N^*恒成立，
（1）求證：數(shù)列{

1

an2

}為等差數(shù)列；
（2）求正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推數(shù)列，利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{

1

an2

}為等差數(shù)列；
（2）求出{a_n²}的通項(xiàng)公式，判斷{S_2n+1-S_n}的單調(diào)性，即可求正整數(shù)m的最小值．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，
∴

1 an2 +4

=

1

an+1

，
平方得（

1

an+1

）²=（

1

an2

）²+4
即（

1

an+1

）²-（

1

an2

）²=4
∴數(shù)列{

1

an2

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
（2）∵數(shù)列{

1

an2

}為首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，
則a_n²=

1

4n-3

，
設(shè)B_n=S_2n+1-S_n，
則B_n-B_n+1=（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
若

14

45

≤

m

30

，
∴m≥

28

3

，
又∵m是正整數(shù)，
∴m的最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．