Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，記S_n=a₁²+a₂²…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

m

30

，對任意n∈N^*恒成立，
（1）求證：數列{

1

an2

}為等差數列；
（2）求正整數m的最小值．

Answer 1

考點：數列遞推式,等差關系的確定

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據遞推數列，利用構造法即可證明數列{

1

an2

}為等差數列；
（2）求出{a_n²}的通項公式，判斷{S_2n+1-S_n}的單調性，即可求正整數m的最小值．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•

1 an2 +4

=1，
∴

1 an2 +4

=

1

an+1

，
平方得（

1

an+1

）²=（

1

an2

）²+4
即（

1

an+1

）²-（

1

an2

）²=4
∴數列{

1

an2

}為等差數列，首項為1，公差為4的等差數列，
（2）∵數列{

1

an2

}為首項為1，公差為4的等差數列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，
則a_n²=

1

4n-3

，
設B_n=S_2n+1-S_n，
則B_n-B_n+1=（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，
數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
若

14

45

≤

m

30

，
∴m≥

28

3

，
又∵m是正整數，
∴m的最小值為10．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列前n項和的求法，考查實數的最小值的求法，解題時要認真審題，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．