Question

如圖，在Rt△ABC中，已知BC=5，AB=3，AC=4，若長(zhǎng)為10的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)

PQ

與

BC

的夾角θ取何值時(shí)

BP

•

CQ

的值最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．B（3，0），C（0，4）．設(shè)P（5cosα，5sinα），Q（-5cosα，-5sinα），α∈[0，2π）．利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得

BP

•

CQ

=-25(

4

5

sinα-

3

5

cosα)-25=-25sin（α-φ）-25≤-25×（-1）-25=0，其中sinφ=

3

5

，cosφ=

4

5

．聯(lián)立

4 5 sinα- 3 5 cosα=-1 sin2α+cos2α=1

，解得即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
B（3，0），C（0，4）．
設(shè)P（5cosα，5sinα），則Q（-5cosα，-5sinα），α∈[0，2π）．
∴

BP

•

CQ

=（5cosα-3，5sinα）•（-5cosα，-5sinα-4）
=-5cosα（5cosα-3）-5sinα（5sinα+4）
=-25cos²α+15cosα-25sin²α-20sinα
=-25(

4

5

sinα-

3

5

cosα)-25
=-25sin（α-φ）-25≤-25×（-1）-25=0，其中sinφ=

3

5

，cosφ=

4

5

．
由

4 5 sinα- 3 5 cosα=-1 sin2α+cos2α=1

，解得

sinα=- 4 5 cosα= 3 5

此時(shí)，

PQ

=（-6，8），

BC

=（-3，4）．
∵

PQ

=2

BC

，∴此時(shí)

PQ

∥

BC

，因此

PQ

與

BC

的夾角θ=0．
∴

PQ

與

BC

的夾角θ取0時(shí)，

BP

•

CQ

的值最大為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的單調(diào)性有界性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、向量共線等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．