Question

已知函數(shù)f（x）=lg（|x+1|+|x-2|+a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-5時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，|x+1|+|x-2|+a＞0，恒成立，利用絕對(duì)值的意義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-5時(shí)，要使函數(shù)有意義，則|x+1|+|x-2|-5＞0，即|x+1|+|x-2|＞5，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x+1|+|x-2|與y=5的圖象如圖：

則由圖象可知不等式的解為x＜-2或x＞3，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜-2或x＞3}．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，|x+1|+|x-2|+a＞0恒成立，
即|x+1|+|x-2|＞-a恒成立，
由圖象可知|x+1|+|x-2|≥3，
即-a＜3，解得a＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域的求解和意義，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．