Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠ACB=90°（如圖）
（1）求證：PA⊥BC；
（2）若PA=AC=BC=1，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥平面ABC，由此能夠證明PA⊥BC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出平面PAB⊥平面ABC，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，CD長就是點(diǎn)C到平面PAB的距離．由此能求出點(diǎn)C到平面PAB的距離．

解答： （1）證明：∵三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，
AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．（2）∵PA⊥平面ABC，且PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC，
過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，
由直二面角的性質(zhì)得CD⊥平面PAB，
∴CD長就是點(diǎn)C到平面PAB的距離．
在Rt△ABC中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴AB=

2

，∴CD=

1

2

AB=

2

2

．
∴點(diǎn)C到平面PAB的距離為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．