Question

10．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，則△ABC的面積的最大值為12．

Answer 1

分析 設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=36②，聯(lián)立①②可得b²+c²=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，得bccosA=7，a=6①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\frac{49}{^{2}{c}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{^{2}{c}^{2}-49}$．
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=36②，
由①②消掉cosA得b²+c²=50，所以b²+c²≥2bc，
所以bc≤25，當且僅當b=c=5時取等號，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{（bc）^{2}-49}$≤12，
故△ABC的面積的最大值為12，
故答案為：12．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角形面積公式不等式求最值等知識，綜合性較強，屬于難題．