Question

11．設(shè) $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$ 是任意的非零向量，且相互不共線(xiàn)，有下列命題：①（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$=0②|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|③（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$共線(xiàn) ④（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow$|²其中正確的是②④．

Answer 1

分析 由向量共線(xiàn)和相等的概念可得①錯(cuò)；由于向量的模的不等式，可得②正確；
由向量共線(xiàn)的定理，可得（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，進(jìn)而判斷③錯(cuò)誤；
運(yùn)用向量的平方即為模的平方，即可判斷④正確．

解答 解：對(duì)于①，（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{c}$共線(xiàn)，（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$與$\overrightarrow$共線(xiàn)，
即有它們不一定相等，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線(xiàn)，即有|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
故②正確；
對(duì)于③，若（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$共線(xiàn)，即有（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，
這不一定成立，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=9$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow$²=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow$|²，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的共線(xiàn)和向量的模的不等式，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．