Question

16．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1．以后各項由a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）給出．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前5項；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1及遞推公式a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$寫出前5項即可；
（2）由a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，從而解得．

解答 解：（1）a₁=1，
a₂=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
a₃=a₂+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$，
a₄=a₃+$\frac{1}{12}$=$\frac{7}{4}$，
a₅=a₄+$\frac{1}{20}$=$\frac{9}{5}$；
（2）∵a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$，
∴a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
a₄-a₃=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…，
a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
故a_n-a₁=1-$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1-$\frac{1}{n}$，
故a_n=2-$\frac{1}{n}$=$\frac{2n-1}{n}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式的應用及裂項求和法的應用．