Question

 

設函數f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（I）   當a=0時，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍;

（II）  當m=2時，若函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍;

（III） 是否存在實數m，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x

即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分

記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.

求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

當時;;當時， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分

令g(x)=x-2lnx,則 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

當時，,當時，

g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。

故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（3）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性

,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分

若，則，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;┉┉┉11分

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數的單調遞增區(qū)間為(,+∞)

單調遞減區(qū)間為(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區(qū)間是(0,)，單調遞增區(qū)間是(，+∞)

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。┉14分