Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+2ax+1，a≠0．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a的值代入，解不等式即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點的個數(shù)單調(diào)f（1）f（2）＜0，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=x²+2x+1，
由f（x）＞4，即（x+1）²＞4，解得：x＞1或x＜-3，
故不等式的解集是（-∞，-3）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a，
函數(shù)的對稱軸是x=-1，故f（x）在（1，2）單調(diào)，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上恰有一個零點，
則f（1）f（2）＜0，即（3a+1）（8a+1）＜0，
解得：-$\frac{1}{3}$＜a＜-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、零點問題，是一道中檔題．