Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=3，S₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{S_n}•{S_{n+1}}}}}$，n∈N^*，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)和公差的方程，解方程即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）由等差數(shù)列的求和公式，可得S_n，計(jì)算${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．
∵a₂=3，S₅=25，∴${a_1}+d=3，\frac{{5（2{a_1}+4d）}}{2}=25$，
解得 a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）證明：∵a_n=2n-1，
∴前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1），
即${S_n}={n^2}$，
∴${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．