Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為AD的中點(diǎn)，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記∠AOP為x（x∈[0，π]），OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積S=f（x），那么對(duì)于函數(shù)f（x）有以下三個(gè)結(jié)論：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{π}{2}，π）$上為減函數(shù)；
③任意$x∈[0，\frac{π}{2}]$，都有f（x）+f（π-x）=4．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 由圖形可得：當(dāng)0≤x≤arctan2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$tanx；當(dāng)arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{2}{tanx}$；當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=2；當(dāng) $\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時(shí)，f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．當(dāng)π-arctan2＜x≤π時(shí)，f（x）=4+$\frac{1}{2}$tanx．即可判斷出．

解答 解：當(dāng)0≤x≤arctan2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$tanx；
當(dāng)arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{1}{2}$EM•OM=2-$\frac{2}{tanx}$；
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=2；
當(dāng) $\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時(shí)，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
當(dāng)π-arctan2＜x≤π時(shí)，f（x）=4-$\frac{1}{2}$×1×tan（π-x）=4+$\frac{1}{2}$tanx．于是可得：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}•tan\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正確；
②當(dāng) $\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時(shí)，由f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$，為增函數(shù)．當(dāng)π-arctan2＜x≤π時(shí)，f（x）=4+$\frac{1}{2}$tanx，為增函數(shù)，因此不正確．
③?x∈$[0，\frac{π}{2}]$，由圖形及其上面，利用對(duì)稱性可得：f（x）+f（π-x）=4，因此正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形面積的計(jì)算、正切函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．