Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a+

1

4

）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）e n-2+

2

n+1

（n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828…）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）的極值，再利用函數(shù)f（x）取得極值時(shí)與給出區(qū)間的關(guān)系即可得出；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，化為k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出其最小值；
（3）由（2）知，當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，即lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．令x=k（k+1），k∈N^*，則ln[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

=1-2(

1

k

-

1

k+1

)，即ln[k（k+1）]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)．分別令k=1，2，3，…n，利用“累加求和”即可證明．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=-

lnx

x2

，由f′（x）=0得：x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值1．
由題意得：

a+ 1 4 ＞2a-1 2a-1＜1＜a+ 1 4

，解得

3

4

＜a＜1，
故實(shí)數(shù)a得取值范圍為(

3

4

，1)．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，化為k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
由題意知：k≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，g′(x)=

x-lnx

x2

，
再令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
因此h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
故g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上遞增，∴g（x）_min=g（1）=2，
因此k≤2，即k的取值范圍為（-∞，2]．
（3）由（2）知，當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

．
∴lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=k（k+1），k∈N^*，則有l(wèi)n[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

=1-2(

1

k

-

1

k+1

)，
即ln[k（k+1）]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)．
分別令k=1，2，3，…n，
利用“累加求和”可得ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞n-2+

2

n+1

，
故∴1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞en-2+

2

n+1

，
從而[（n+1）!]²＞（n+1）e n-2+

2

n+1

（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、在給出含參數(shù)區(qū)間上取得極值的條件、“累加求和”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．