Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，若$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0，則$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范圍是（　�。�

• A． （e，+∞）
• B． [2，e）
• C． $（{e+\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $[{2，e+\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性性化簡不等式，然后利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$），等價(jià)為|ln$\frac{n}{m}$|＜1f（|lnt|）≤f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減即可得到不等式的解集從而求解．

解答 ：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$）
∴$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0可化為$f（{ln\frac{n}{m}}）$＞f（1），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴|ln$\frac{n}{m}$|＜1，
∴$\frac{1}{e}＜\frac{n}{m}＜e$，
又$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{n}{m}+\frac{1}{\frac{n}{m}}$∈[2，e+$\frac{1}{e}$）
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關(guān)鍵．先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行化簡是解決本題的突破點(diǎn)