Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過討論a的范圍求出a的具體范圍即可；
（Ⅲ）不等式兩邊取對數(shù)，得到ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{1+2015}$＞0，結合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=ln（1+x）-\frac{ax}{x+1}（a＞0）$，
∴${f^'}（x）=\frac{x+1-a}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，
f′（1）=0即a=2；
（Ⅱ）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）_min≥0，
當0＜a≤1時，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
即f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，
當a＞1時，令f′（x）≥0，則x＞a-1，
令f′（x）＜0，則0≤x＜a-1，
即f（x）在[0，a-1）上為減函數(shù)，在（a-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a-1）≥0，又f（0）=0＞f（a-1），則矛盾．
綜上，a的取值范圍為（0，1]．
（Ⅲ）要證${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只需證${（{\frac{2016}{2015}}）^{2016}}＞e$，
兩邊取自然對數(shù)得，$2016×ln\frac{2016}{2015}＞1$$?ln\frac{2016}{2015}＞\frac{1}{2016}$，
?ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0?ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{1+2015}$＞0，
由（Ⅱ）知a=1時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）單調(diào)遞增，
又$\frac{1}{1+2015}$＞0，f（0）=0，
∴f（$\frac{1}{2015}$）=ln$\frac{1}{1+2015}$-$\frac{1}{1+2015}$＞f（0）=0，
${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．