Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x₀-2，y₀），向量$\overrightarrow$=（x₀+2，y₀），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4$\sqrt{3}$，設(shè)M（x₀，y₀），A（-2，0），B（2，0），則|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow{a}|$+|$\overrightarrow$|=4$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．即|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|=4$\sqrt{3}$．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|=4$\sqrt{3}$．
∴4$\sqrt{3}$=|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|$≥2\sqrt{|\overrightarrow{MA}|•|\overrightarrow{MB}|}$．
化為|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|≤12，當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MB}$|=2$\sqrt{3}$時(shí)取等號．
∴|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|的最大值為12．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．