Question

已知關(guān)于x的不等式|2x-1|-|x-1|≤log₂a．
（1）當a=8時，求不等式解集．
（2）若不等式有解，求a的范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當a=8時，化簡不等式通過去絕對值符號，求解不等式得到解集．
（2）若不等式有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后求a的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得：|2x-1|-|x-1|≤3…（1分）
當x≤

1

2

時，-2x+1+x-1≤3，x≥-3，即-3≤x≤

1

2

…（2分）
當

1

2

＜x＜1時，2x-1+x-1≤3，即x≤

5

3

…（3分）
當x≥1時，2x-1-x+1≤3，即x≤3…（4分）
∴該不等式解集為{x|-3≤x≤3}．…（5分）
（2）令f（x）=|2x-1|-|x-1|，有題意可知：lo

g

a 2

≥f(x)min…（6分）
又∵f(x)=

-x，x≤ 1 2 3x-2， 1 2 ＜x＜1 x，x≥1

…（8分）
∴f(x)min=-

1

2

…（9分）
即a≥2-

1

2

=

2

2

，…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的最值以及幾何意義，考查分類討論思想以及計算能力．