Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx，其中a＜0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-

1

2

且關(guān)于x的方程f（x）=

1

2

x-b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，依題意f′（x）≤0在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立，對a討論，則有a＜0，判別式不小于0，即可；
（Ⅱ）由題意設(shè)g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，求得導(dǎo)數(shù)，列表表示g（x）和g′（x）的關(guān)系，得到極小值和極大值，
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．則令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它們即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），求導(dǎo)得f′（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

（x＞0），
依題意f′（x）≤0在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
因為a＜0，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸x=-

1

a

＞0，
問題轉(zhuǎn)化為△=4+4a≤0，
所以a≤-1，所以a的取值范圍是（-∞，-1]；    
（Ⅱ）由題意-

1

4

x²+2x-lnx=

1

2

x-b，即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，
設(shè)g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，則g′（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）_極大值=g（1）=-b-

5

4

，g（x）_極小值=g（2）=ln2-b-2，又g（4）=2ln2-b-2
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．
則

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，得 ln2-2＜b≤-

5

4

 （注意-

5

4

＜-1＜2ln2-2））．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，求極值，考查函數(shù)方程的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，考查運算能力，屬于中檔題．