Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，當x=1時，f（x）取得的極值-3
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對于任意x＞0，不等式f（x）+2m²-m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式組，求出a，b的值，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）問題轉化為f（x）≥m-2m²對任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由f′（x）=3ax²+2bx，…（1分）
當x=1時，f（x）的極值為-3，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（0）=0}\\{f（1）=-3}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=6x³-9x²…（4分）
∴f′（x）=18x²-18x，
由f′（x）＞0得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0）和 （1，+∞），單調遞減區(qū)間是（0，1）…（7分）
（2）f（x）+2m²-m≥0對任意x＞0恒成立，
即f（x）≥m-2m²對任意x＞0恒成立，
即${f_{min}}（x）≥m-2{m^2}$．…（9分）
由（1）知當x=1，f_min（x）=f（1）=-3…（10分）
∴-3≥m-2m²，即2m²-c-3≥0，
∴m≤-1或$m≥\frac{3}{2}$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．