Question

10．已知函數(shù)g（x）=aln x，f（x）=x³+x²+bx．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，得到關(guān)于b的不等式組，解出即可；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+x²+bx，得f′（x）=3x²+2x+b，
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0
f′（x）=3${（x+\frac{1}{3}）}^{2}$+b-$\frac{1}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f′（x）}_{max}=16+b}\\{{f′（x）}_{min}=5+b}\end{array}\right.$，
∴-16＜b＜-5；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即a≤（ $\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，求導(dǎo)得，t′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

點評 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．