11.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,AB=2,PA=$\sqrt{6}$,E是棱PC的中點(diǎn),過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn).
(1)若PM=$\frac{2}{3}$PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍.

分析 (Ⅰ)連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-$\sqrt{2}$,0),B ($\sqrt{2}$,0,0),C(0,$\sqrt{2}$,0),D(-$\sqrt{2}$,0,0),P(0,0,2),E(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1)由AN,AE,AM共面,$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+(2-2λ)y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$.
(Ⅱ)根據(jù)正四棱錐P-ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最。孟蛄糠謩e求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值.

解答 解:(Ⅰ)連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-$\sqrt{2}$,0),B ($\sqrt{2}$,0,0),C(0,$\sqrt{2}$,0),D(-$\sqrt{2}$,0,0),P(0,0,2),E(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1)
$\overrightarrow{AE}=(0,\frac{3\sqrt{2}}{2},1)$,$\overrightarrow{AP}=(0,\sqrt{2},2)$,$\overrightarrow{PB}=(\sqrt{2},0,-2)$,$\overrightarrow{PD}=(-\sqrt{2},0,-2)$,$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}=(\frac{2\sqrt{2}}{3},\sqrt{2},\frac{2}{3})$.
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=(-\sqrt{2}λ,\sqrt{2},2-2λ)$,
∵AN,AE,AM共面,∴$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+(2-2λ)y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$.
(Ⅱ)根據(jù)正四棱錐P-ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,
,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最。
①由(Ⅰ)知當(dāng)PM=PN時(shí),λ=$\frac{2}{3}$,$\overrightarrow{AM}=(\frac{2\sqrt{2}}{3},\sqrt{2},\frac{2}{3}),\overrightarrow{AE}=(0,\frac{3}{2}\sqrt{2},1)$,
設(shè)面AMEN的法向量為$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$,
由$\frac{3\sqrt{2}}{2}y+z=0$,$\frac{2\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{2}y+\frac{2}{3}z=0$取$\overrightarrow{m}=(0,\sqrt{2},-3)$
設(shè)直線PA與平面AMEN所成角為θ,sinθ=|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{AP}$>|=$\frac{2\sqrt{66}}{33}$,
②當(dāng)M在B時(shí),因?yàn)锳B∥面PDC,所以過(guò)AB,AE的面與面PDC的交線NE∥AB
設(shè)$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$是面ABEN的法向量,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}a+\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{3\sqrt{2}}{2}b+c=0}\end{array}\right.$,可取$\overrightarrow{n}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},-3)$
sinθ=|cos<$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}$>|=$\frac{2\sqrt{78}}{39}$.
直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[$\frac{2\sqrt{78}}{39}$,$\frac{2\sqrt{66}}{33}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間存在性問(wèn)題,通過(guò)向量共面證明四點(diǎn)共面,及向量法求線面角,屬于中檔題.

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(1)求證{an}為等差數(shù)列并求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=(3n-2)•bn,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
①求Tn
②若對(duì)任意n≥2,n∈N*,均有$({T_n}-5)m≥6{n^2}-31n+35$恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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