Question

8．過點(diǎn)P（1，1）作直線l交圓x²+y²=4于A，B兩點(diǎn)，若$|AB|=2\sqrt{3}$，則直線l的方程為x=1或y=1．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y-k+1=0，求出圓x²+y²=4的圓心O（0，0），半徑r=2，圓心到直線l的距離d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，能求出直線l的方程．

解答 解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得A（1，-$\sqrt{3}$），B（1，$\sqrt{3}$），
此時(shí)|AB|=2$\sqrt{3}$，成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
圓x²+y²=4的圓心O（0，0），半徑r=2，
圓心到直線l的距離d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵$|AB|=2\sqrt{3}$，
∴由d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，得（$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4，
解得k=0．∴直線l的方程為y=1．
∴直線l的方程為x=1或y=1．
故答案為：x=1或y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．