Question

8．如圖，過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M₁、N₁，求證：FM⊥FN．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得：|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，可得∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F．利用MM₁∥NN₁，可得$∠FM{M}_{1}+∠FN{N}_{1}=18{0}^{°}$，即可證明．

解答 證明：由拋物線的定義可得：|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，
∴∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F，
∵M(jìn)M₁∥NN₁，
∴$∠FM{M}_{1}+∠FN{N}_{1}=18{0}^{°}$，
∴∠MFM₁+∠NFN₁=$\frac{1}{2}（18{0}^{°}-∠FM{M}_{1}）$+$\frac{1}{2}（18{0}^{°}-∠FN{N}_{1}）$=180°-90°=90°，
∴FM⊥FN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．