Question

4．已知圓O的方程為x²+y²=1，設圓O與x軸交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一旦，直線PM交直線l：x=3于點P′，直線QM交直線l于點Q′，求證：以P′Q′為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數(shù)），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結論．

解答 證明：對于圓O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l方程為x=3，設M（s，t），
則直線PM方程為y=$\frac{t}{s+1}$（x+1）．
令x=3，得P'（3，$\frac{4t}{s+1}$），
同理可得：Q'（3，$\frac{2t}{s-1}$）．
所以圓C的圓心C的坐標為（3，$\frac{3st-t}{{s}^{2}-1}$），半徑長為|$\frac{st-3t}{{s}^{2}-1}$|，
又點M（s，t）在圓上，又s²+t²=1．故圓心C為（3，$\frac{1-3s}{t}$），半徑長|$\frac{3-s}{t}$|．
所以圓C的方程為（x-3）²+（y-$\frac{1-3s}{t}$）²=（$\frac{3-s}{t}$）²，
即（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$+$\frac{（1-3s）^{2}}{{t}^{2}}$-$\frac{（3-s）^{2}}{{t}^{2}}$=0，
即（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$+$\frac{8（{s}^{2}-1）}{{t}^{2}}$=0，
又s²+t²=1，
故圓C的方程為（x-3）²+y²-$\frac{2（1-3s）y}{t}$-8=0，
令y=0，則（x-3）²=8，
所以圓C經(jīng)過定點，y=0，則x=3±2$\sqrt{2}$，
所以圓C經(jīng)過定點且定點坐標為（3±2$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查的知識是直線和圓的方程的應用，主要考查圓的方程的求法，同時考查圓恒過定點的求法，注意轉化為圓系方程是解答本題的關鍵．