Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁=2且a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列．數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-8n．
（Ⅰ）分別求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

bn

an

，若c_n≤m，對于?n∈N^*恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，再利用遞推式可得b_n．
（II）cn=

2n-9

2×3n-1

，由c_n≤m，對于?n∈N^*恒成立，即m≥c_n的最大值，作差c_n+1-c_n對n分類討論即可得出．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=2且a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃-8，
∴2a1q=a1+a1q2-8，
化為q²-2q-3=0，
∴q₁=3，q₂=-1，
∵q＞1，∴q=3，
∴a n=2×3n-1，
當n=1時，b1=S1=12-8×1=-7．
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=n2-8n-[(n-1)2-8(n-1)]=2n-9，
當n=1時，2×1-9=b₁滿足上式，
∴bn=2n-9，n∈N*．
（Ⅱ）cn=

2n-9

2×3n-1

，
若c_n≤m，對于?n∈N^*恒成立，
即m≥c_n的最大值，
cn+1-cn=

2n-7

2×3n

-

2n-9

2×3n-1

=

-4n+20

2×3n

，
當c_n+1=c_n時，即n=5時，c₅=c₆，
當c_n+1＞c_n時，即n＜5，n∈N^*時，c₁＜c₂＜c₃＜c₄＜c₅，
當c_n+1＜c_n時，即n＞5，n∈N^*時，c₆＞c₇＞c₈＞c₉＞…，
∴c_n的最大值為c5=c6=

1

162

，即m≥

1

162

．
∴m的最小值為

1

162

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推式的應用、數(shù)列的單調性，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．