Question

已知直線y=x+k與曲線x=

1-y2

有且僅有一個公共點，則實數k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：曲線x=

1-y2

 表示一個半圓（單位圓位于x軸及x軸右側的部分）．當直線y=x+k經過點A、B時，分別求得k的值，再求出當直線y=x+k和半圓相切時k的值，數形結合求得k的范圍．

解答： 解：曲線x=

1-y2

，即 x²+y²=1 （x≥0），表示一個半圓（單位圓位于x軸及x軸右側的部分）．
如圖，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
當直線y=x+k經過點A時，1=0+k，求得 k=1；
當直線y=x+k經過點B、點C時，0=1+k，求得 k=-1；
當直線y=x+k和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得1=

|0-0+k|

2

，求得 k=-

2

，或 k=

2

（舍去），
故要求的實數k的范圍為[-1，1]∪{-

2

}，
故答案為：[-1，1]∪{-

2

}．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．