Question

已知數(shù)列{a_n}前n項的和為S_n，且滿足an=n2 (n∈N*)．
（Ⅰ）求s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明sn=

n(n+1)(2n+1)

6

 (n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=n²，n∈N^*即可求得s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）（1）當(dāng)n=1時，證明左邊=右邊；（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時結(jié)論成立，去證明即n=k+1時，等式也成立即可（需用上歸納假設(shè)）．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n=n²，n∈N^*
∴s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=1+4=5，s₃=a₁+a₂+a₃=1+4+9=14．…（6分）
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=s₁=1，
右邊=

1×(1+1)(2+1)

6

=1，
所以等式成立．…（8分）
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時結(jié)論成立，即S_k=

k(k+1)(2k+1)

6

，…（10分）
那么，S_k+1=S_k+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

即n=k+1時，等式也成立．…（13分）
根據(jù)（1）（2）可知對任意的正整數(shù)n∈N^*都成立．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理分析與論證的能力，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．