Question

【題目】已知圓的任意一條切線l與橢圓都有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）

（1）求圓O半徑r的取值范圍；

（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)詳解

【解析】

（1）圓的中心是原點(diǎn)，橢圓的短半軸長(zhǎng)為，根據(jù)圓和橢圓的位置關(guān)系分析即得；（2）當(dāng)圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)，圓的切線為，與聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達(dá)定理和，可得和的關(guān)系式，再由圓心到切線的距離等于半徑，可得，解出，即得；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可得上述圓的切線，進(jìn)而求出切點(diǎn)，驗(yàn)證滿足即可，故使得恒成立的圓存在；當(dāng)切線斜率存在且不等于時(shí)，則有，由韋達(dá)定理和基本不等式可得的最大值，當(dāng)切線斜率不存在或等于時(shí)，可知的值，選兩者中的最大值，再由，計(jì)算即得.

（1）當(dāng)時(shí)，圓在橢圓內(nèi)部，切點(diǎn)在橢圓內(nèi)，圓的每一條切線都過(guò)橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，切線與橢圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，圓的切線和都和橢圓最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意；

故的取值范圍是.

（2）當(dāng)圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線為，設(shè)，由消去得：，則，，則，由得，即，，又由與圓相切得，即，解得，此時(shí)圓的方程為.

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，上述圓的切線為或，這兩條切線與橢圓的交點(diǎn)為，或，，也滿足，故滿足條件的圓存在，其方程為.

當(dāng)切線斜率存在且不等于時(shí)，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

當(dāng)切線斜率不存在或等于時(shí)，，則，又，故，則.