Question

14．已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為：ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，若點P為曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)）上的動點，其中參數(shù)α∈[0，2π]．
（1）試寫出直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展開ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ=2$\sqrt{3}$，利用互化公式即可得出直線l的直角坐標方程．曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，且參數(shù)α∈[0，2π]，利用三角函數(shù)基本關系式的平方關系消去參數(shù)α可知曲線C的普通方程．
（2）由（1）點P的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，圓心為C（2，0），半徑為2．利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d，可得點P到直線l距離的最大值為d+r．

解答 解：（1）∵ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ=2$\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標方程為：y-$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$．
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，且參數(shù)α∈[0，2π]，
消去參數(shù)α可知曲線C的普通方程為：（x-2）²+y²=4．
（2）由（1）點P的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，圓心為C（2，0），半徑為2．
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=2$\sqrt{3}$，
∴點P到直線l距離的最大值為$2\sqrt{3}$+2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．