Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=x²+x的圖象上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=x²+x的圖象上，可得2S_n=n²+n，利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）由已知得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=x²+x的圖象上，
∴2S_n=n²+n，
當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=2a₁=2，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，$2{S}_{n-1}=（n-1）^{2}$+（n-1），
可得2a_n=2n，解得a_n=n．
經(jīng)檢驗(yàn)：n=1時(shí)也滿(mǎn)足上式．
綜上可得：a_n=n．（n∈N⁺）．
（2）由已知得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．