Question

14．（1）已知圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，試判斷圓C₁與圓C₂的關(guān)系？
（2）已知過點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為4$\sqrt{5}$，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心與半徑，利用圓心距與半徑和與差的關(guān)系判斷即可．
（2）求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由于 圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，即 （x+1）²+（y+4）²=25，
表示以C₁（-1，-4）為圓心，半徑等于5的圓．圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，即 （x-2）²+（y-2）²=10，表示以C₂（2，2）為圓心，半徑等于10的圓．
由于兩圓的圓心距等于$\frac{\root{3}{{3}^{2}+{6}^{2}}}{5}$，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩個圓相交．
（2）x²+y²+4y-21=0的圓心（0，-2），半徑為5，弦心距為：d．
利用勾股定理d²=R²-（$2\sqrt{5}$）²=5，
∴d=$\sqrt{5}$．
設(shè)過點(diǎn)M（-3，-3）的直線方程為y+3=k（x+3），即：kx-y+（3k-3）=0，
利用點(diǎn)到直線的距離公式得：$\frac{|3k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴9k²-6k+1=5k²+5，
∴4k²-6k-4=0，
∴2k²-3k-2=0，
∴k=2或k=-$\frac{1}{2}$，
（1）當(dāng)k=2時，直線方程為：2x-y+（3*2-3）=0，即2x-y+3=0，
（2）當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時，直線方程為：-$\frac{1}{2}$x-y+[3×（$-\frac{1}{2}$）-3]=0，即x+2y+9=0．

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．