Question

9．設(shè)拋物線C：y²=2px（0＜p≤4）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，以MF為直徑的圓過點（0，2）．
（1）求C的方程；
（2）在拋物線C上求一點T，使T點到直線x-4y+5=0的距離最短；
（3）已知直線l₁：4x-3y+6=0和直線l₂：x=-1，求拋物線C上的動點P直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線方程算出|OF|=$\frac{p}{2}$，設(shè)以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=$\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}$．再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關(guān)系式，從而得到關(guān)于p的方程，解之得到實數(shù)p的值，進(jìn)而得到拋物線C的方程．
（2）利用點到直線的距離公式表示出距離，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得其最小值；
（3）過點F（1，0）作FQ⊥l₁，交拋物線于點P，垂足為Q，過點P作PM⊥l₂，垂足為M．則|PF|=|PM|，可知：|FQ是|拋物線y²=4x上一動點P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值．

解答 解：（1）∵拋物線C方程為y²=2px（p＞0）
∴焦點F坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），可得|OF|=$\frac{p}{2}$
∵以MF為直徑的圓過點（0，2），
∴設(shè)A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=$\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}$
∴sin∠OAF=$\frac{|OF|}{|AF|}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}$
∵根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點∴$\frac{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}{5}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}}$，整理得4+$\frac{{p}^{2}}{4}$=$\frac{5p}{2}$，解之可得p=2或p=8
∵0＜p≤4，∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)T（x，y），則T點到直線x-4y+5=0的距離d=$\frac{|x-4y+5|}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（y-8）^{2}-11|}{\sqrt{17}}$，
∴y=8，x=16時，T（16，8）到直線x-4y+5=0的距離最短；
（3）如圖所示，
過點F（1，0）作FQ⊥l₁，交拋物線于點P，垂足為Q，過點P作PM⊥l₂，垂足為M．
則|PF|=|PM|，可知：|FQ是|拋物線y²=4x上一動點P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值．
|FQ|=$\frac{|4+6|}{\sqrt{16+9}}$=2．

點評 本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式等知識，屬于難題．