Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$被直線l截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}，1）$，則直線l的方程2x+y-2=0．

Answer 1

分析 首先判斷中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}$=1，兩式相減，運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線的斜率公式可得直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求．

解答 解：由中點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得
$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$＜1，即直線l與橢圓相交，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}$=1，
兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{16}$=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=1，y₁+y₂=2，
代入上式，可得直線l的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-2，
可得直線l的方程為y-1=-2（x-$\frac{1}{2}$），
即為2x+y-2=0．
故答案為：2x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中點(diǎn)弦方程的求法，注意運(yùn)用橢圓方程相減，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．