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【題目】已知函數 ,
(1)若 ,求函數 處的切線方程
(2)設函數 ,求 的單調區(qū)間.
(3)若存在 ,使得 成立,求 的取值范圍。

【答案】
(1)

當a=1時,f(x)=x-lnx,

∴f(e)=e-1, (x)= ,

(e)=

∴f(x)在x=e處的切線方程為(e-1)x-ey=0.


(2)

h(x)=x+ ,∴ (x)= ,

① 當a+1>0時,即a>-1時,在(0,1+a)上 (x)<0,在(1+a,+ )上 (x)>0,

所以h(x)在(0,1+a)上單調遞減,在(1+a,+ )上單調遞增;

② 當1+a≤0,即a≤-1時,在(0,+ )上 (x)>0,

所以,函數h(x)在(0,+ )上單調遞增.


(3)

在[1,e]上存在一點 ,使得f( )<g( )成立,即在[1,e]上存在一點 ,使得h( )<0,

即函數h(x)= x+ 在[1,e]上的最小值小于零.

由(2)可知:①1+a≥e,即a≥e-1時,h(x)在[1,e]上單調遞增,所以h(x)的最小值為h(e),由h(e)=e+ -a<0可得a> ,

因為 >e-1,∴a> ;②當1+a≤1,即a≤0時,h(x)在[1,e]上單調遞增,所以h(x)最小值為h(1),由h(1)=1+1+a<0可得a<-2;③當1<1+a<e,即0<a<e-1時,可得h(x)最小值為h(1+a).

因為0<ln(1+a)<1,

所以,0<aln(1+a)<a,

故h(1+a)=2+a-aln(1+a)>2

此時,h(1+a)<0不成立。

綜上討論可得所求a的范圍是:a> 或a<-2.


【解析】(1)根據a的值確定確定f(x)和 f ′ (x),進而確定在f(x)在x=e處的切線方程;(2)根據f(x)、g(x)表示出h(x),然后求出h(x)的導函數 h ′ (x),通過導函數來判斷h(x)的單調區(qū)間;(3)對題目中的已知條件進行轉換,在[1,e]存在 x 0 使得 f ( x 0 ) < g ( x 0 ) ,等價于在[1,e]上存在一點 x 0 ,使得h( x 0 )<0,即函數h(x)= x+ -aln x 在[1,e]上的最小值小于零。由于不確定a的取值,無法判定h(x)在[1,e]上的單調性,所以這里要根據a的取值范圍來分三種情況進行討論。
【考點精析】本題主要考查了函數的單調性的相關知識點,需要掌握注意:函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調不增,和單調不減兩種才能正確解答此題.

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