Question

（本題16分）已知函數(shù)，(x>0)．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2），求的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是[a，b]？若存在，請(qǐng)求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）（3）不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

【解析】

試題分析：（1）求分段函數(shù)的單調(diào)性，可先求出各段單調(diào)性，然后一般用逗號(hào)連接；（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問(wèn)題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).

試題解析：（1） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（2）由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．

即．

（3）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．

若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，則a>0

而

①當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．

故 即 解得 a=b．

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

② 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．

故 即

此時(shí)a，b是方程的根，此方程無(wú)實(shí)根．故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

③ 當(dāng)，時(shí)，由于，而，故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，判斷存在性問(wèn)題.