Question

某品牌汽車的4S店對最近100位采用分期付款的購車者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數(shù)	35	25	a	10	b

已知分3期付款的頻率為0.15，并且4S店銷售一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元，以頻率作為概率．
（Ⅰ）求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用X表示銷售一輛該品牌汽車的利潤，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（x）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由

a

100

=0.15，得a=15，b=15，由此能求出“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用4期付款”的概率．
（Ⅱ）記分期付款的期數(shù)為ξ，X的可能取值為1，1.5，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由

a

100

=0.15，得a=15，
因?yàn)?5+25+a+10+b=100，所以b=15，
“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用4期付款”的概率：P(A)=0.93+

C

1 3

×0.1×(1-0.1)2=0.972．…（4分）
（Ⅱ）記分期付款的期數(shù)為ξ，
依題意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，
P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（6分）
因?yàn)閄的可能取值為1，1.5，2，
并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，
P（X=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，
P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．…（10分）
所以X的分布列為

X	1	1.5	2
P	0.35	0.4	0.25

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（萬元）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．