Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=4S_n-1（n∈N^*）
（1）證明：a_n+2-a_n=4．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=4S_n-1，可得當(dāng)n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_n≠0，兩式相減可得a_n+1-a_n-1=4；
（2）由（1）可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，進(jìn)而得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：∵a_na_n+1=4S_n-1，∴當(dāng)n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_na_n+1-a_n-1a_n+1=4a_n，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=4，
（2）解：當(dāng)n=1時，a₁a₂=4a₁-1，
∵a₁=1，解得a₂=3，
由a_n+1-a_n-1=4，可知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)分別為1，3．
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，a_n=a_2k-1=1+4（k-1）=4k-3=2n-1；
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，a_n=a_2k=3+4（k-1）=2n-1．
∴a_n=2n-1．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．