Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），|

b

|=1，且a與b滿足|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0）．
（1）試用k表示

a

•

b

，并求

a

•

b

的最小值；
（2）若0≤x≤π，

b

=（

1

2

，

3

2

），求

a

•

b

的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用已知條件，通過模的求法，即可用k表示

a

•

b

，利用基本不等式求

a

•

b

的最小值；
（2）若0≤x≤π，

b

=（

1

2

，

3

2

），利用

a

•

b

以及三角函數(shù)化簡為正弦函數(shù)的形式，通過位置的范圍求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值．

解答： 解（1）∵|

a

|=1，|

b

|=1，
由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
得（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
整理得

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，

a

•

b

取最小值

1

2

．
（2）由

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）．
∵0≤x≤π，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1．當(dāng)x=

π

3

時(shí)，

a

•

b

取最大值為1．

點(diǎn)評：本題考查向量的模以及數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．