Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱長(zhǎng)為3，AB⊥BC，且AB=BC=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，
（Ⅰ）求證A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′-EBF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′-EF-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A′F⊥C′E．
（Ⅱ）三棱椎B′-EBF的體積為V=m（3-m）≤

(m+3-m)2

4

，當(dāng)m=

3

2

．即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點(diǎn)時(shí)，
三棱錐B′-EBF的體積取得最大值，利用向量法能求出此時(shí)二面角B′-EF-B的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）建立如圖所示直角坐標(biāo)系：
則A′（0，3，3），則BF=m，
C′（3，0，3），E（0，3-m，0），F(xiàn)（m，0，0），…（2分）
∴

A′F

•

C′E

=0，∴A′F⊥C′E．…（5分）
（Ⅱ）三棱椎B′-EBF的體積為：
V=m（3-m）≤

(m+3-m)2

4

．…（7分）
所以當(dāng)m=

3

2

．即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點(diǎn)時(shí)，
三棱錐B′-EBF的體積取得最大值，
此時(shí)E（0，

3

2

，0），F(xiàn)（

3

2

，0，0），B′（0，0，3），

B′E

=(0，

3

2

，-3)，

B′F

=（

3

2

，0，-3），
設(shè)平面B′EF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

B′E • n = 3 2 y-3z=0 B′F • n = 3 2 x-3z=0

，
取x=2，得

n

=(2，2，1)，
又平面BEF的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

…（9分）
設(shè)二面角B′-EF-B的平面角為θ，
則cosθ=

1

3

，tanθ=2

2

，
故此時(shí)二面角B′-EF-B的正切值為2

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．