Question

如圖：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（Ⅰ） 若BC邊上的中點為M，且AM=m_a，求證：m_a=

1

2

2(b2+c2)-a2

；
（Ⅱ） 若△ABC是銳角三角形，且a=2bsinA．求u=cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應用

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，結合∠AMB+∠AMC=π⇒cos∠AMB+cos∠AMC=0，即可證明結論；
（Ⅱ）先確定A的范圍，再化簡u=cosA+sinC，即可求出結論．

解答： （Ⅰ） 證明：在△AMB中：c2=

m

2 a

+(

a

2

)2-2ma•

a

2

•cos∠AMB①
在△AMC中：b2=

m

2 a

+(

a

2

)2-2ma•

a

2

•cos∠AMC②
∵∠AMB+∠AMC=π⇒cos∠AMB+cos∠AMC=0，
∴①+②⇒b2+c2=2

m

2 a

+

a2

2

⇒ma=

1

2

2(b2+c2)-a2

（Ⅱ）解：a=2bsinA⇒sinA═2sinBsinA⇒sinB=

1

2

，
又△ABC為銳角三角形，
故B=

π

6

．從而C=π-

π

6

-A=

5π

6

-A．
∴u=cosA+sinC=cosA+sin(

5π

6

-A)=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin(A+

π

3

)．
∵

0＜A＜ π 2 0＜ 5π 6 -A＜ π 2

?

π

3

＜A＜

π

2

，
∴

2π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

⇒

1

2

＜sin(A+

π

3

)＜

3

2

．
故u∈(

3

2

，

3

2

)．

點評：本題考查余弦定理的應用，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．