Question

13．根據平面向量基本定理，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$為一組基底，同一平面的向量$\overrightarrow a$可以被唯一確定地表示為$\overrightarrow a=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，則向量$\overrightarrow a$與有序實數對（x，y）一一對應，稱（x，y）為向量$\overrightarrow a$在基底$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$下的坐標；特別地，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$分別為x，y軸正方向的單位向量$\overrightarrow i，\overrightarrow j$，則稱（x，y）為向量$\overrightarrow a$的直角坐標．
（I）據此證明向量加法的直角坐標公式：若$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，則$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$；
（II）如圖，直角△OAB中，$∠AOB={90°}，|\overrightarrow{OA}|=1，|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}$，C點在AB上，且$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$，求向量$\overrightarrow{OC}$在基底$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$下的坐標．

Answer 1

分析 （ I）利用平面向量的坐標運算即可證明結論成立；
（ II）【解法一】（向量法），根據幾何性質得出$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$即可；
【解法二】（向量法）根據幾何性質得出$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，再用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$即可；
【解法三】（坐標法）以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$方向為x，y軸正方向建立直角坐標系，
利用坐標表示求出$\overrightarrow{OC}$的坐標即可．

解答 解：（ I）證明：根據題意：$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{a}$=x₁$\overrightarrow{i}$+y₁$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=x₂$\overrightarrow{i}$+y₂$\overrightarrow{j}$，（2分）
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}）\overrightarrow i+（{y_1}+{y_2}）\overrightarrow j$，（4分）
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$；（6分）
（ II）【解法一】（向量法）：根據幾何性質，易知
∠OAB=60°，∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{CB}$|=$\frac{3}{2}$；
從而$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
化簡得：$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OC}$在基底$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$下的坐標為$（\frac{3}{4}，\frac{1}{4}）$．
【解法二】（向量法）：同上可得：$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$；從而求得坐標表示．
【解法三】（坐標法）：以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$方向為x，y軸正方向建立直角坐標系，
則$A（1，0），B（0，\sqrt{3}）$，由幾何意義易得C的直角坐標為$（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$；
設$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則
$（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）=x（1，0）+y（0，\sqrt{3}）=（x，\sqrt{3}y）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}=x}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
即得坐標為（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）．（12分）

點評 本題考查了平面向量的線性運算與坐標表示的應用問題，是綜合性題目．