Question

18．已知圓O：x²+y²=2，直線(xiàn)l過(guò)兩點(diǎn)A（1，-$\frac{3}{2}$），B（4，0）
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若P是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的兩條切線(xiàn)PC，PD，切點(diǎn)為C，D，求證：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)l的方程；
（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，C、D在圓O：x²+y²=2上可得直線(xiàn)C，D的方程，即可求得直線(xiàn)CD是否過(guò)定點(diǎn)

解答 解：（1）∵直線(xiàn)l過(guò)兩點(diǎn)A（1，-$\frac{3}{2}$），B（4，0），
∴直線(xiàn)l的方程為$\frac{y+\frac{3}{2}}{0+\frac{3}{2}}=\frac{x-1}{4-1}$，即y=$\frac{1}{2}x$-2；
證明：（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，
設(shè)P（t，$\frac{1}{2}t-2$），其方程為：x（x-t）+y（y-$\frac{1}{2}t$+2）=0，
又C、D在圓O：x²+y²=2上
∴l(xiāng)_CD：$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2$=0，
即（x+$\frac{y}{2}$）t-2y-2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{1}{2}$，y=-1，
∴直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．