Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$的零點(diǎn)分別為x₁，x₂ ，x₃，則x₁，x₂ ，x₃的大小關(guān)系是x₁＜x₂＜x₃．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)解析式判斷出f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$都是單調(diào)遞增函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)定理判斷x₁，x₂ ，x₃的范圍即可得x₁，x₂ ，x₃的大小

解答 解：∵f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$都是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）=2^x+x，g（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，h（x）=log₂x-$\sqrt{x}$均只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵f（-1）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$＜0，f（0）=1＞0，
∴f（x）=2^x+x的零點(diǎn)x₁∈（-1，0）．
∵$\lim_{x→0}$g（x）=-∞，g（1）=1＞0
∴g（x）的零點(diǎn)x₂∈（0，1）；
∵h(yuǎn)（4）=0
∴h（x）的零點(diǎn)x₃=4，
∴x₁＜x₂＜x₃．
故答案為：x₁＜x₂＜x₃

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，在求解函數(shù)零點(diǎn)的范圍問(wèn)題中的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)定理判斷即可．