Question

16．已知方程x²+2kx+k²=x，求使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件，并寫出它的一個必要不充分條件．

Answer 1

分析 先寫出使兩根都大于1的充要條件是使兩根都大于1的充要條件是：$\left\{\begin{array}{l}{（2k-1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\\{（{x}_{1}-1）+（{x}_{2}-1）＞0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$；再結(jié)合韋達定理解不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：方程x²+2kx+k²=x，即方程x²+（2k-1）x+k²=0，
設方程的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2k，x₁•x₂=k²，
則使兩根都大于1的充要條件是：$\left\{\begin{array}{l}{（2k-1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\\{（{x}_{1}-1）+（{x}_{2}-1）＞0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4k-1≤0}\\{1-2k-2≤0}\\{{k}^{2}-1+2k+1≥0}\end{array}\right.$，
解得k≤-2，
所以方程x²+（k-2）x+k²+1=0有兩個大于1的根的充要條件是k≤-2，
它的一個必要不充分條件是k≤-3．

點評 本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系．解決這一類型題目一般都要結(jié)合韋達定理，以及充要條件和必要條件的問題．