Question

如下圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC=a，且PD是四棱錐的高.

(1)在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；

(2)求四棱錐外接球的半徑.

Answer 1

答案：
解析：

(1)思路：當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積法求解. 解：設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SD、 SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設(shè)它們的高均為R， VP—ABCD=·SABCD·PD=·a·a·a=a3， S△PAD=S△PDC=·a·a=a2， S△PAB=S△PBC=·a·a=a2， SABCD=a2. VP—ABCD=VS—PDA+VS—PDC+VS—ABCD+VS—PAB+VS—PBC， a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+SABCD)， a3=R(a2+a2+a2+a2+a2)，(2+)a2=a3， ∴R==a=(1－)a. ∴球的最大半徑為(1－)a (2)思路：四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點的距離均為半徑， 只要找出球心的位置即可.在Rt△PDB中，斜邊PB的中點為F，則 PF=FB=FD，只要證明FA=FC=FP即可. 解：設(shè)PB的中點為F， ∵在Rt△PDB中，FP=FB=FD， 在Rt△PAB中，FA=FP=FB， 在Rt△PBC中，FP=FB=FC， ∴FP=FB=FA=FC=FD. ∴F為四棱錐外接球的球心. 則FP為外接球的半徑. ∵FB=PB，∴FB=a.∴四棱錐外接球的半徑為a.